La "Science des Nombres" en action dans les travaux de Richard Dedekind : entre explorations mathématiques et recherches fondationnelles.

In 1882, Richard Dedekind and HeinrichWeber offer an arithmetico-algebraic re-definition of the Riemann surface, using concepts and methods introduced by Dedekind in algebraic number theory. In an attempt to investigate Dedekind’s works beyond the mere idea of a “conceptual approach”, this works proposes to identify the elements of practice specific to Dedekind, starting from the paper co-written with Weber. I put forward the idea thatin Dedekind’s works, arithmetic can play an essential and active role in the elaboration of mathematical knowledge. For this, I propose to study, inDedekind’s mathematical practice, the conception of arithmetic, the place and role of arithmetical notions and the possible evolutions in Dedekind’sideas about arithmetic. This study is based on a careful analysis of a selection of Dedekind’s texts. For this, I study Dedekind’s early works, his 1854Habilitationsvortrag and his first works in number theory. Then, I propose a comparison between the first two versions of Dedekind’s theory of algebraic numbers published in 1871 and 1877. Finally, I turn to Dedekind’s foundational works, to make explicit the specificities of his conception and elucidate, through the study of his works on the definition of numbers, what gives arithmetic its pride of place and the link with the definition of natural numbers given in Was sind und was sollen die Zahlen? in 1888.En 1882, Richard Dedekind et Heinrich Weber proposent une re-définition algébraico-arithmétique de la notion de surface de Riemann utilisant les concepts et méthodes introduits par Dedekind en théorie des nombres algébriques. Dans un effort pour regarder au-delà de l’idée d’une “approche conceptuelle”, ce travail se propose d’identifier les éléments de pratique propres à Dedekind, partant de l’article co-écrit avec Weber. Nous mettons en avant l’idée selon laquelle, dans les travaux de Dedekind, l’arithmétique peut jouer un rôle actif et essentiel pour l’élaboration de connaissances mathématiques. Pour cela, nous proposons l’étude, dans la pratique mathématique, de la conception de l’arithmétique chez Dedekind, de la place donnée à et du rôle joué par les notions arithmétiques, et des possibles évolutions de ces idées dans les travaux de Dedekind. Cette étude est faite par l’examen serré d’une sélection de textes. Dans un premier temps, sont étudiés les premiers travaux de Dedekind, son Habilitationsvortrag en 1854 et ses premières recherches en théorie des nombres. Suite à cela, nous proposons une comparaison des deux premières versions de la théorie des nombres algébriques publiée par Dedekind en 1871 et 1877. Enfin, ayant mis en évidence le rôle central de l’arithmétique, pour les mathématiques dedekindiennes, nous nous tournons vers les travaux fondationnels de Dedekind, afin d’expliciter la spécificité de sa conception en élucidant, à travers ses travaux sur la définition des nombres, ce qui donne à l’arithmétique cette place de choix et les liens avec la définition des entiers naturels donnée dans le fameux Was sind und was sollen die Zahlen? en 1888